Andra Ordningens Glidande Medelvärde Filter

Exponentiell filter. Denna sida beskriver exponentiell filtrering, det enklaste och mest populära filtret Detta är en del av avsnittet Filtrering som ingår i En guide till feldetektering och diagnos. Överblick, tidskonstant och analogt motsvarighet. Det enklaste filtret är exponentiellt filter Den har bara en avstämningsparameter annat än provintervallet. Det kräver att endast en variabel lagras - den tidigare utgången. Det är ett IIR-autoregressivt filter. Effekterna av en ingångsförändring sönderfaller exponentiellt tills gränserna för bildskärmar eller datorräkningar döljer den. I olika discipliner benämns användningen av detta filter också som exponentiell utjämning. I vissa discipliner som investeringsanalys kallas exponentiellt filtret en exponentiell viktad rörlig genomsnittlig EWMA eller bara exponentiell rörlig genomsnittlig EMA. Detta missbrukar den traditionella ARMA-glidande genomsnittliga terminologin av Tidsserieanalys, eftersom det inte finns någon inmatningshistorik som används - bara den aktuella ingången. Det är den diskreta ti ekvivalent av den första ordenslag som vanligtvis används vid analog modellering av kontinuerliga styrsystem. I elektriska kretsar är ett RC-filterfilter med ett motstånd och en kondensator en första ordningslagd. När man betonar analogi med analoga kretsar, Är tidskonstanten, vanligtvis skrivet som små bokstäver grekiska bokstaven Tau Faktum är att värdena vid de diskreta provtiderna exakt matchar den ekvivalenta kontinuerliga tidsfördröjningen med samma tidskonstant. Förhållandet mellan den digitala implementeringen och tidskonstanten visas i Ekvationer nedan. Exponentiella filterekvationer och initialisering. Det exponentiella filtret är en viktad kombination av föregående uppskattningsutgång med den nyaste inmatningsdata, med summan av vikterna lika med 1 så att utmatningen matchar ingången vid steady state. Följande filternotation Redan introducerad. ykay k-1 1-ax k. where xk är den råa ingången vid tiden steg kyk är den filtrerade utgången vid tiden steg ka är en co Nstant mellan 0 och 1, normalt mellan 0 8 och 0 99 a-1 eller a kallas ibland utjämningskonstanten. För system med ett bestämt tidssteg T mellan prover beräknas konstanten a och lagras endast för bekvämlighet när applikationsutvecklaren specificerar ett nytt värde av önskad tidskonstant. där tau är filtertidskonstanten i samma tidsenheter som T. For system med dataprovtagning vid oregelbundna intervall måste exponentiell funktion ovan användas med varje tidssteg, där T Är tiden sedan föregående prov. Filterutmatningen initieras vanligen för att matcha den första ingången. När tidskonstanten närmar sig 0, a går till noll, så det finns ingen filtrering av utsignalen lika med den nya ingången. Eftersom tidskonstanten blir mycket stor , Ett tillvägagångssätt 1, så att den nya inmatningen nästan ignoreras mycket tung filtrering. Filterjämförelsen ovan kan omordnas i följande prediktorkorrigeringsekvivalent. Denna form gör det tydligare att variabelestimatets utmatning av filtret i S beräknas som oförändrad från föregående uppskattning y k-1 plus en korrigeringsperiod baserad på den oväntade innovationen - skillnaden mellan den nya ingången xk och förutsägelsen y k-1 Denna form är också resultatet av att det exponentiella filtret härledas som en Enkelt speciellt fall av ett Kalman-filter som är den optimala lösningen på ett uppskattningsproblem med en viss uppsättning antaganden. Stegsvar. Ett sätt att visualisera driften av exponentiellt filter är att plotta sitt svar över tiden till en stegingång. Det är, Från och med filteringången och utgången vid 0, ändras ingångsvärdet plötsligt till 1 De resulterande värdena anges nedan. I ovanstående diagram delas tiden upp med filtertidskonstanten tau så att du lättare kan förutsäga resultaten för någon Tidsperiod för varje värde av filtertidskonstanten Efter en tid som motsvarar tidskonstanten stiger filterutgången till 63 21 av sitt slutvärde. Efter en tid som motsvarar 2 tidskonstanter stiger värdet till 86 47 av sitt slutvärde Utsignalerna efter tider lika med 3,4 och 5 tidskonstanter är 95 02, 98 17 och 99 33 av slutvärdet. Eftersom filtret är linjärt betyder det att dessa procentandelar kan användas för vilken storleksgrad som helst av steget ändra inte bara för värdet av 1 som används här. Även om stegsvaret i teorin tar en oändlig tid, från en praktisk synpunkt, tänk på det exponentiella filtret som 98 till 99 gjort svarande efter en tid som motsvarar 4 till 5 filtertidskonstanter. Variationer på det exponentiella filtret. Det finns en variation av det exponentiella filtret som kallas ett icke-linjärt exponentiellt filter Weber, 1980 avsikt att tungt filtrera buller inom en viss typisk amplitud, men svara sedan snabbare på större förändringar. Copyright 2010 - 2013, Greg Stanley . Dela den här sidan. Signalbehandling av digitala filter. Digitala filter är i huvudsak samplade system. Ingångs - och utsignalerna representeras av prover med samma tidsavstånd. Finite Implulse Response FIR-filter kännetecknas av en ti Mig svaret beror endast på ett givet antal av de sista proven på ingångssignalen. Med andra ord när ingångssignalen har fallit till noll, kommer filterutmatningen att göra detsamma efter ett visst antal samplingsperioder. Utmatningsenheten ges av en linjär kombination av de sista ingångsproverna xk i. Koefficienterna bi ger vikten för kombinationen De motsvarar också koefficienterna för täljaren för z-domänfiltrets överföringsfunktion. Följande figur visar ett FIR-filter i ordning N 1.For Linjära fasfilter är koefficientvärdena symmetriska runt mitten och fördröjningslinjen kan vikas tillbaka runt denna mittpunkt för att minska antalet multiplikationer. Överföringsfunktionen hos FIR-filter utsätter endast en täljare. Detta motsvarar en all - nollfilter. FIR-filter kräver vanligtvis höga beställningar, i storleken av flera hundra. Således kommer valet av denna typ av filter att behöva en stor mängd hårdvara eller CPU. Trots detta är en orsak t o välja ett FIR-filter implementering är förmågan att uppnå ett linjärt fassvar, vilket kan vara ett krav i vissa fall Ändå har fiterdesignern möjlighet att välja IIR-filter med en god faslinjäritet i passbandet, såsom Bessel-filter eller att designa ett all-pass filter för att korrigera fasresponsen hos ett standard IIR-filter. Flytta genomsnittliga filter MA Edit. Moving Genomsnittliga MA-modeller är processmodeller i form. MA-processerna är en alternativ representation av FIR-filter. Användbara filter Edit. A filter calculating Medelvärdet av de N sista proverna av en signal. Det är den enklaste formen av ett FIR-filter, med alla koefficienter lika. Överföringsfunktionen hos ett medelfilter ges av. Överföringsfunktionen hos ett medelfilter har N lika fördelade nollor Längs frekvensaxeln Men noll vid DC maskeras av filterets pol. Därför finns en större lob en DC som står för filterpassbandet. Cascaded Integrator-Comb CIC Filters Edit. A Cas Caded integrator-comb filter CIC är en speciell teknik för implementering av genomsnittliga filter placerade i serie. Serieplaceringen av de genomsnittliga filtren förbättrar den första loben vid likström jämfört med alla andra lobes. Ett CIC-filter implementerar överföringsfunktionen hos N-genomsnittliga filter, varvid varje beräkning Medelvärdet av RM-prover Dess överföringsfunktion ges således. CIC-filter används för att decimera antalet samplingar av en signal med en faktor R eller, i andra termer, för att återprov en signal vid en lägre frekvens, kasta bort R 1 Prover ut ur R Faktorn M anger hur mycket av den första loben som används av signalen Antalet genomsnittliga filtersteg, N indikerar hur bra andra frekvensband dämpas, på bekostnad av en mindre platt överföringsfunktion runt DC. CIC struktur tillåter att implementera hela systemet med endast adders och register, inte använda någon multiplicerare som är giriga när det gäller hårdvara. Därefter sampling med en faktor R tillåter att öka signalupplösningen med log 2 R R bits. Canonical filters Edit. Canonical filters implementerar en filteröverföringsfunktion med ett antal fördröjningselement som är lika med filterordningen, en multiplikator per täljare koefficient, en multiplikator per nämnarkoefficient och en serie adders På liknande sätt som kanoniska strukturer i aktiva filter, detta typ av kretsar visade sig vara väldigt känsliga för elementvärdena en liten förändring i en koefficienter hade stor effekt på överföringsfunktionen. Här har också utformningen av aktiva filter skiftats från kanoniska filter till andra strukturer såsom kedjor av andra ordningssektioner eller Hoppa över filtren. Höger av andra ordningens sektioner Redigera. En andra ordersektion som ofta kallas biquad implementerar en andra orderöverföringsfunktion. Överföringsfunktionen hos ett filter kan delas in i en produkt av överföringsfunktioner som var och en är associerad med ett par poler och eventuellt ett par Av nollor Om överföringsfunktionens order är udda måste en första orderdel läggas till i kedjan. Detta avsnitt är associerat ed till den riktiga polen och till den verkliga noll om det finns en. direct-form 1.direct-form 2.direct-form 1 transposed. direct-form 2 transposed. Direktform 2 införlivad av följande figur är särskilt intressant när det gäller nödvändig hårdvara samt signal - och koefficientkvantisering. Digital Leapfrog-filter Edit. Filter Structure Edit. Digital hoppfiltrets bas för simulering av analoga aktiva hopp-filter. Incitamentet för detta val är att ärva från de utmärkta passbandskänslighetsegenskaperna hos Original ladderkrets. Följande 4: e beställa allpoliga lowpass-hoppfiltret filter. Kan implementeras som en digital krets genom att ersätta de analoga integratorerna med ackumulatorer. Återförandet av de analoga integratorerna med ackumulatorer motsvarar att förenkla Z-transformen till z 1 s T som är de två första termerna av Taylor-serien Zexps T Denna approximation är tillräckligt bra för filter där samplingsfrekvensen är mycket högre än signalbandbredden. Transfers Func redigera. Statusutrymmesrepresentationen av den föregående filmen kan skrivas som. Från denna ekvationsuppsättning kan man skriva A, B, C, D matriserna. Från denna representation tillåter signalbehandlingsverktyg såsom Octave eller Matlab att plotta filterets frekvensrespons eller för att undersöka dess nollor och poler. I det digitala språngfiltret sätter koefficients relativa värden formen av överföringsfunktionen Butterworth Chebyshev, medan deras amplituder sätter avkänningsfrekvensen. Delar alla koefficienter med en faktor av två skifter cutofffrekvensen med en oktav också en faktor två. Ett speciellt fall är Buterworth 3: e orderfiltret, som har tidskonstanter med relativa värden på 1, 1 2 och 1. Därigenom kan detta filter implementeras i hårdvara utan Vilken multiplikator som helst, men använder skift istället. Utanvändargränssnitt AR Edit. Autoregressive AR-modeller är processmodeller i formuläret. Var un är utgången från modellen, xn är ingången till modellen och un-m är före S-prover av modellutgångsvärdet Dessa filter kallas autogegressiva eftersom utgångsvärdena beräknas baserat på regressioner av tidigare utmatningsvärden. AR-processer kan representeras av ett allpoligt filter. ARMA-filter Edit. Autoregressive ARMA-filter med rörelse-medel är kombinationer av AR - och MA-filter Filtrets utmatning ges som en linjär kombination av både den vägda ingången och viktade utgångsproverna. ARMA-processer kan betraktas som ett digitalt IIR-filter, med både poler och nollor. AR-filter föredras i många fall eftersom De kan analyseras med hjälp av Yule-Walker-ekvationerna MA - och ARMA-processer, å andra sidan kan analyseras av komplicerade icke-linjära ekvationer som är svåra att studera och modell. Om vi ​​har en AR-process med tryckviktskoefficienter aa vektor av en , en - 1 en ingång på xn och en utgång från yn kan vi använda yule-walker-ekvationerna Vi säger att x 2 är variansen av ingångssignalen Vi behandlar ingångsdata-signalen som en rando M-signal, även om det är en deterministisk signal eftersom vi inte vet vad värdet kommer att vara tills vi tar emot det. Vi kan uttrycka Yule-Walker-ekvationerna som. Var R är korrelationsmatrisen för processutgången. Och r Är autokorrelationsmatrisen för processutgången. Varians Edit. We kan visa att. Vi kan uttrycka ingångssignalvariansen som. Or, expanderar och ersätter för r 0 kan vi relatera processvariansvariationen till ingångsvarianen.2 1 Moving Average Models MA-modeller. Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvärden. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. Xt är ett fördröjt värde på xt. Till exempel, En lag 1-autoregressiv term är x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder att Wt är identiskt inde Pendent distribuerad, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket av denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är de teoretiska egenskaperna följande. Notera att den enda nonzero värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff icients of models med MA termer Det är inte något vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibility-begränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast en omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. Xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prickar summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som kausalrepresentation av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Detta sista steg använder ett grundläggande fakta om geometriska serier som kräver phi1 1 annars skiljer serien bort.